Análisis cuantitativo para la toma de decisiones: El valor esperado

El valor esperado

El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cual era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), está definido por:

E(X) = å x_i f(x_i)

Lo anterior significa, que para calcular E(X) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.

El valor esperado representa el valor promedio que se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a lamedia o promedio aritmético, los cuales se representan con la letra m.

De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:

E(X) = m = å x_i f(x_i)

Ejemplo 4. 7. Si se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.

Solución.

Definamos la variable aleatoria X como la suma de los números que aparecen al lanzar dos dados legales. Como vimos en el problema anterior, la distribución de probabilidad es:

å x_i f(x_i) =

x_i	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x_i)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

En particular, si la distribución de probabilidades es simétrica como en el ejemplo anterior, el valor esperado coincide con el valor de la variable que tiene la mayor probabilidad en la distribución.

Una aplicación del valor esperado puede ser la siguiente.

Ejemplo 4. 8. Un casino le permite a un jugador que lance un dado legal y que reciba tantos pesos como puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad k de pesos cada vez que juegue. Calcular cuanto debe valer k para que el jugador ni gane ni pierda.

Solución.

Sea X la variable aleatoria que representa el resultado al lanzar un dado. Su distribución de probabilidad es la siguiente:

	1	2	3	4	5	6
	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

En este caso el valor esperado debe ser igual al valor k, con lo que se espera que el jugador ni gane ni pierda. Aplicando la fórmula del valor esperado tenemos:

å x_i f(x_i) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) +5(1/6) + 6(1/6) = 3.5

El jugador debe pagar 3.5 pesos cada vez que participa en un juego.

Si la cuota k fuera de 4 pesos por juego, la ganancia neta esperada del casino es de 0.50 pesos por juego, ya que k - = 4.00 - 3.50 = 0.50 pesos. Como lo que recibe el jugador en un solo juego no puede ser igual a 3.5 pesos (debe ser un número entero entre 1 y 6), entonces la E(X) no necesariamente coincide con el resultado de un solo juego.

El significado de E(X) = 3.5 pesos, es que si el juego se realiza un gran número de veces, el cociente

debe ser aproximadamente igual a 3.5 pesos.

Ejemplo 4. 9. Consideremos una lotería con mil números. Cada número cuesta 25 centavos y el premio es de 100 pesos. Calcular cuánto se espera ganar o perder cada vez que se participa en esta lotería.

Solución.

Sea X la variable aleatoria utilidad que obtiene la persona que participa en la lotería y los valores que puede tomar son:

Cuando gana = 99.75 pesos (100 que gana del premio, menos 0.25 del costo del número).

Cuando pierde: –0.25 pesos (costo del número)

Por su parte, la probabilidad de ganar es 1/1000 y de perder 999/1000.

De acuerdo a los datos anteriores, la distribución de probabilidad es:

X = x_i	99.75	-0.25
f(x_i)	1/1000	999/1000

Por lo tanto, el valor esperado es:

å x_i f(x_i) = (99.75) (1/1000) + (-0.25) (999/1000) = -0.15

O sea que la persona que participe en la lotería espera perder 15 centavos en cada juego.

Variancia.

Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión.

La primera está representada por la media o valor esperado, ya vista en el punto anterior, y la segunda por la variancia o por la desviación estándar, que evalúan la dispersión de la distribución de probabilidad o grado en que se separan del promedio los valores de la variable aleatoria X.

Por ejemplo, en un espacio muestral equiprobable vemos que los valores 5, 10 y 15 tienen una media de 10 y que los valores 9.9, 10 y 10.1 la media también es 10. Sin embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren notablemente en la dispersión de los valores respecto a su media y que tal dispersión es de gran importancia. Por lo tanto, para tener un conocimiento claro y completo del comportamiento de los valores que puede tomar la variable aleatoria, es indispensable conocer tanto la media como la variancia o la desviación estándar de la distribución de probabilidad.

Las desviaciones (X - m ) toman valores: (x₁ - m), (x₂ - m), (x₃ - m), ,(x_i -m), con probabilidades respectivas: f(x₁), f(x₂), f(x₃), . . . , f(x_i). Sin embargo, al tomar el valor esperado de estas desviaciones nos encontramos con que:

E(X - m ) = å(x_i - m ) f(x_i) = å x_i f(x_i) - m å f(x_i) = å x_i f(x_i) - m = m - m= 0

Esto se debe a que las desviaciones positivas se compensan con las desviaciones negativas. Para determinar una medida de dispersión, necesitamos considerar únicamente la magnitud de las desviaciones sin sus signos.

Una manera de eliminar el signo de las desviaciones, es considerar el cuadrado de las mismas, es decir, (x_i - m)2.

Si obtenemos el valor esperado de las desviaciones elevadas al cuadrado, obtenemos una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad, la cual es conocida como Variancia y se simboliza por s2 ó Var (X) ó V(X).

La variancia de una variable aleatoria X se define como

s2 = V(X) = Var (X) = E (X - m )2 = å(x_i - m)2 f(x_i)

A partir de ésta ecuación y mediante un pequeño desarrollo matemático, se obtiene la siguiente expresión:

s2 = V(X) = å x_i2 f(xi) - m2

Si representamos a å x_i2 f(xi) por E( X2), podemos escribir:

s2 = V(X) = Var (X) = E( X2) - [E(X)]² = E( X2) - m2

Al usar la variancia como medida de dispersión o variabilidad se presenta una dificultad. Las unidades con que se miden los valores que toma la variable aleatoria X son lineales, por ejemplo kilogramos, metros, litros, etc., por lo que m = E(X) también será lineal, pero la variancias2 está en unidades cuadráticas, como kilogramos elevados al cuadrado, metros elevados al cuadrado, litros elevados al cuadrado, etc.

En vista de lo anterior, si queremos expresar la medida de dispersión en las mismas unidades en que se miden los valores de la variable aleatoria X, debemos tomar la raíz cuadrada positiva de la variancia. A esta cantidad se le conoce con el nombre de desviación estándar y se representa con s.

La desviación estándar de una variable aleatoria X se define y simboliza como:

Ejemplo 4. 12. Consideremos nuevamente la distribución de probabilidad de las ventas semanales de unidades de alta fidelidad de la marca A, en la ya vimos que:

X = x_i	0	1	2	3	4	5
f(x)	0.1	0.1	0.2	0.3	0.2	0.1

Encontrar la variancia y la desviación estándar.

Solución.

Basándonos en la distribución de probabilidad podemos construir la tabla siguiente, en la cual obtenemos todos los valores que se necesitan para el cálculo.