Análisis cuantitativo para la toma de decisiones: Regresión lineal

Regresión Lineal

Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).

Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y unavariable independiente.

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre unavariable dependiente Y, las variables independientes X_i y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

$Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots +\beta_p X_p + \varepsilon$

$Y_t$ : variable dependiente, explicada o regresando.

$X_1, X_2, \cdots, X_p$ : variables explicativas, independientes o regresores.

$\beta_0,\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_p$ : parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

donde $\beta_0$ es la intersección o término "constante", las $\beta_i \ (i > 0)$ son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y $p$ es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

Índice

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1 Historia
- 1.1 Etimología
2 El modelo de regresión lineal
3 Hipótesis modelo de regresión lineal clásico
4 Supuestos del modelo de regresión lineal
5 Tipos de modelos de regresión lineal
- 5.1 Regresión lineal simple
  - 5.1.1 Análisis
- 5.2 Regresión lineal múltiple
6 Rectas de regresión
7 Aplicaciones de la regresión lineal
- 7.1 Líneas de tendencia
- 7.2 Medicina
8 Véase también
9 Referencias
10 Bibliografía
11 Enlaces externos

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Historia

La primera forma de regresiones lineales documentada fue el método de los mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805,¹ y en dónde se incluía una versión delteorema de Gauss-Márkov.

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Etimología

El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.² La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.

El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.

Pero bien, como se ha dicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.

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El modelo de regresión lineal

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas $X_k$ (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros $\beta_k$ desconocidos:

(2)

$Y = \sum \beta_k X_k + \varepsilon$

donde $\varepsilon$ es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:

(3)

$Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon$

El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos $\beta_k$ , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).

(4)

$Y_i = \sum \beta_k X_{ki} + \varepsilon_i$

Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, $\hat{\beta_k}$ , son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en

(5)

$Y_i = \sum \hat{\beta_k} X_{ki} + \hat{\varepsilon_i}$

Los valores $\hat{\varepsilon_i}$ son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.

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Hipótesis modelo de regresión lineal clásico

1. Esperanza matemática nula.

$E(\varepsilon_i) = 0$

Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone que tomará algunos valores mayores que cero y otros menores, de tal forma que su valor esperado sea cero.

2. Homocedasticidad

$Var(\varepsilon_t) = E(\varepsilon_t - E \varepsilon_t)^2 = E \varepsilon_t^2 = \sigma^2$ para todo t

Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianza que es desconocida. La dispersión de cada $\varepsilon_t$ en torno a su valor esperado es siempre la misma.

3. Incorrelación. $Cov(\varepsilon_t,\varepsilon_s ) = (\varepsilon_t - E \varepsilon_t) (\varepsilon_s - E \varepsilon_s) = E \varepsilon_t \varepsilon_s = 0$ para todo t,s con t distinto de s

Las covarianzas entre las distintas pertubaciones son nulas, lo que quiere decir que no están correlacionadas o autocorrelacionadas. Esto implica que el valor de la perturbación para cualquier observación muestral no viene influenciado por los valores de la perturbación correspondientes a otras observaciones muestrales.

4. Regresores no estocásticos.

5. No existen relaciones lineales exactas entre los regresores.

6. $T > k + 1$ Suponemos que no existen errores de especificación en el modelo ni errores de medida en las variables explicativas

7. Normalidad de las perturbaciones $\varepsilon -> N(0, \sigma^2 )$

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Supuestos del modelo de regresión lineal

Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:³

La relación entre las variables es lineal.
Los errores en la medición de las variables explicativas son independientes entre sí.
Los errores tienen varianza constante. (Homocedasticidad)
Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).
El error total es la suma de todos los errores.

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Tipos de modelos de regresión lineal

Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:

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Regresión lineal simple

Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:⁴

(6)

$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$

donde $\varepsilon_i$ es el error asociado a la medición del valor $X_i$ y siguen los supuestos de modo que $\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$ (media cero, varianza constante e igual a un $\sigma$ y $\varepsilon_i \perp \varepsilon_j$ con $i\neq j$ ).

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Análisis

Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:⁵

(7)

$E(y_i) = \hat{y_i}=E(\beta_0) + E(\beta_1 x_i) + E(\varepsilon_i)$

Derivando respecto a $\hat{\beta}_0$ y $\hat{\beta}_1$ e igualando a cero, se obtiene:⁵

(9)

$\frac{\partial \sum (y_i - \hat{y_i})^2 }{\partial \hat{\beta}_0} = 0$

(10)

$\frac{\partial \sum (y_i - \hat{y_i})^2 }{\partial \hat{\beta}_1} = 0$

Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:⁴

(11)

$\hat{\beta_1} = \frac { \sum x \sum y - n \sum xy } { \left ( \sum x \right ) ^ 2 - n \sum x^2 } = \frac{ \sum (x-\bar{x})(y-\bar{y} ) }{\sum ( x - \bar{x})^2 }$

(12)

$\hat{\beta_0} = \frac { \sum y - \hat{\beta}_1 \sum x } { n } = \bar{y} - \hat{\beta_1} \bar{x}$

La interpretación del parámetro ${\beta_1}$ es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en ${\beta_1}$

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Regresión lineal múltiple

La regresion lineal nos permite trabajar con una variable a nivel de intervalo o razón, así también se puede comprender la relación de dos o más variables y nos permitirá relacionar mediante ecuaciones, una variable en relación a otras variables llamándose Regresión múltiple. Constantemente en la práctica de la investigación estadística, se encuentran variables que de alguna manera están relacionados entre si, por lo que es posible que una de las variables puedan relacionarse matemáticamente en función de otra u otras variables.

Maneja varias variables independientes. Cuenta con varios parámetros. Se expresan de la forma:⁶

(13)

$Y_i = \beta_0 + \sum \beta_i X_{ip} + \varepsilon_i$

donde $\varepsilon_i$ es el error asociado a la medición $i$ del valor $X_{ip}$ y siguen los supuestos de modo que $\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$ (media cero, varianza constante e igual a un $\sigma$ y $\varepsilon_i \perp \varepsilon_j$ con $i\neq j$ ).

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Rectas de regresión

Las rectas de regresión son las rectas que mejor se ajustan a la nube de puntos (o también llamado diagrama de dispersión) generada por una distribución binomial. Matemáticamente, son posibles dos rectas de máximo ajuste:⁷

La recta de regresión de Y sobre X:

(14)

$y = \bar{y} + \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}(x - \bar{x})$

La recta de regresión de X sobre Y:

(15)

$x = \bar{x} + \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^2}(y - \bar{y})$

La correlación ("r") de las rectas determinará la calidad del ajuste. Si r es cercano o igual a 1, el ajuste será bueno y las predicciones realizadas a partir del modelo obtenido serán muy fiables (el modelo obtenido resulta verdaderamente representativo); si r es cercano o igual a 0, se tratará de un ajuste malo en el que las predicciones que se realicen a partir del modelo obtenido no serán fiables (el modelo obtenido no resulta representativo de la realidad). Ambas rectas de regresión se intersecan en un punto llamado centro de gravedad de la distribución.

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Aplicaciones de la regresión lineal

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Líneas de tendencia

Véase también: Tendencia.

Una línea de tendencia representa una tendencia en una serie de datos obtenidos a través de un largo período. Este tipo de líneas puede decirnos si un conjunto de datos en particular (como por ejemplo, el PBI, el precio del petróleo o el valor de las acciones) han aumentado o decrementado en un determinado período.⁸ Se puede dibujar una línea de tendencia a simple vista fácilmente a partir de un grupo de puntos, pero su posición y pendiente se calcula de manera más precisa utilizando técnicas estadísticas como las regresiones lineales. Las líneas de tendencia son generalmente líneas rectas, aunque algunas variaciones utilizan polinomios de mayor grado dependiendo de la curvatura deseada en la línea.

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Medicina

En medicina, las primeras evidencias relacionando la mortalidad con el fumar tabaco⁹ vinieron de estudios que utilizaban la regresión lineal. Los investigadores incluyen una gran cantidad de variables en su análisis de regresión en un esfuerzo por eliminar factores que pudieran producir correlaciones espurias. En el caso del tabaquismo, los investigadores incluyeron el estado socio-económico para asegurarse que los efectos de mortalidad por tabaquismo no sean un efecto de su educación o posición económica. No obstante, es imposible incluir todas las variables posibles en un estudio de regresión.¹⁰ ¹¹ En el ejemplo del tabaquismo, un hipotético gen podría aumentar la mortalidad y aumentar la propensión a adquirir enfermedades relacionadas con el consumo de tabaco. Por esta razón, en la actualidad las pruebas controladas aleatorias son consideradas mucho más confiables que los análisis de regresión.

Análisis cuantitativo para la toma de decisiones

jueves, 22 de noviembre de 2012

Regresión lineal

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